加法定理

2023年10月9日

加法定理（Addition Rule）は、確率論の基本的なルールの一つで、2つ以上の事象の確率を組み合わせるために使用されます。加法定理には2つの主要なバリエーションがあり、それぞれ排他的な事象と非排他的な事象に適用されます。

1. 排他的な事象の加法定理（Addition Rule for Mutually Exclusive Events）:

   • 2つ以上の排他的な事象の確率を計算するために使用されます。排他的な事象とは、同時には発生しない事象のことを指します。つまり、一つの事象が発生した場合、他の事象は発生しないという性質を持つ事象です。
   • 2つの排他的な事象 A と B の確率の和は、それぞれの事象の確率を足し合わせたものに等しい：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
   • これを一般化すると、n 個の排他的な事象 A1, A2, …, An の確率の和は、P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) となります。

2. 非排他的な事象の加法定理（Addition Rule for Non-Mutually Exclusive Events）:

   • 2つ以上の非排他的な事象の確率を計算するために使用されます。非排他的な事象とは、同時に発生する可能性がある事象のことを指します。
   • 2つの非排他的な事象 A と B の確率の和は、それぞれの事象の確率を足し合わせたものから、両方の事象が同時に発生する確率を引いたものに等しい：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A かつ B)。
   • これを一般化すると、n 個の非排他的な事象 A1, A2, …, An の確率の和は、P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) – P(A1 かつ A2) – P(A1 かつ A3) – … – P(An-1 かつ An) となります。

加法定理は、複数の事象が同時に発生する確率を計算するのに役立ちます。非排他的な事象の場合、重複を避けるために両方の事象が同時に発生する確率を引くことが重要です。