超平面と半空間とは

2024年6月8日

超平面と半空間は、幾何学や数学の分野でよく使われる概念です。

1. 超平面（Hyperplane）:

   • 超平面は、$n$n次元ユークリッド空間内の次元数が$n-1$n－1の部分空間を指します。具体的には、$n$n次元ユークリッド空間内の一次方程式で表される平面です。2次元ユークリッド空間（平面）、3次元ユークリッド空間（平面）、およびそれ以上の次元の空間においても、超平面は同様に定義されます。
   • 例えば、2次元ユークリッド空間内の超平面は直線、3次元ユークリッド空間内の超平面は平面となります。これらはそれぞれ1次方程式や2次方程式で表されます。

2. 半空間（Half-space）:

   • 半空間は、超平面によって空間が2つに分けられたうちの片方の部分空間を指します。超平面上の点は、2つの半空間の境界に位置します。
   • 超平面の方程式において、超平面より一方の側にある領域が半空間となります。例えば、2次元ユークリッド空間内の半空間は、直線を境界として直線の一方の側の領域になります。

数学や計算幾何学において、超平面と半空間は、幾何学的な問題や最適化問題を扱う際に重要な概念となります。特に、線形計画法や幾何学的アルゴリズムなどで頻繁に使用されます。