特異値分解（SVD）

2024年6月8日

特異値分解（Singular Value Decomposition、SVD）は、行列を特定の形式に分解する手法であり、線形代数やデータ解析の分野で広く使用されています。SVDは、任意の行列を3つの行列の積に分解します。

与えられた行列 $A$A に対する特異値分解は、以下のように表されます。

$A = U Sigma V^T$A=UΣVT

ここで、

• $U$U は $A A^T$AAT の固有ベクトル行列を構成します。
• $V$V は $A^T A$ATA の固有ベクトル行列を構成します。
• $Sigma$Σ は特異値を対角要素とする行列で、$A$A の特異値の平方根を非負の大きさ順に並べたものです。

特異値分解は、次元削減、ノイズ除去、データ圧縮、行列のランク推定、最適化問題の解法など、さまざまな目的で使用されます。

以下に、特異値分解の主な応用例を挙げます。

1. 主成分分析（PCA）: 特異値分解を使用して、データの次元を削減する手法の1つである主成分分析（PCA）が実装されます。

2. 画像圧縮: 特異値分解を使用して、画像データを圧縮する手法があります。特異値分解を適用することで、画像の情報を保持しながら、データの次元を削減することができます。

3. 推薦システム: 特異値分解を使用して、ユーザーとアイテムの行列を分解し、潜在的なユーザーの興味やアイテムの特性を抽出し、推薦を行うことができます。

4. 情報検索: 特異値分解は、検索エンジンなどの情報検索システムにおいて、文書の潜在的なトピックを抽出するために使用されることがあります。

特異値分解は、さまざまな分野で有用であり、多くの問題に対する効果的な解決策を提供します。