ルーティングに関することでdefaultしか反映されていない
ルーティングの設定が、defaultデータベースにしか反映されていないとのことですね。value_searchデータベースに対するルーティングも追加する必要があります。
DATABASE_ROUTERS設定にvalue_searchデータベースを対象とするルーターを追加することで、value_searchデータベースに対するモデルの操作も適切にルーティングされるようになります。
以下は、DATABASE_ROUTERS設定にvalue_searchデータベースを対象とするルーターを追加する例です。
python DATABASE_ROUTERS = ['path.to.MyAppRouter', 'path.to.AnotherRouterForValueSearch']
必要に応じて、適切なルーターを指定してください。これにより、value_searchデータベースに対するモデルの操作が正しく処理されるようになります。

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