ノルムとはちがうの？

2024年6月8日

はい、ノルム（Norm）とドット積（Dot product）は異なる概念です。

1. ノルム（Norm）：

   • ノルムは、ベクトルの大きさや長さを定量化するための概念です。
   • ノルムはベクトルの空間的な大きさを表現し、通常は非負の実数値です。
   • ユークリッドノルム（Euclidean norm）やマンハッタンノルム（Manhattan norm）など、さまざまなノルムの定義があります。
   • 一般的に、n次元ベクトル $mathbf{x} = (x_1, x_2, ldots, x_n)$x=(x1,x2,…,xn) のノルムは次のように定義されます：
     $| mathbf{x} | = sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ldots + x_n^2}$∥x∥=x12+x22+…+xn2

2. ドット積（Dot product）：

   • ドット積は、2つのベクトルの間で定義される演算であり、要素ごとの積を加算したものです。
   • ドット積はベクトル同士の内積を表し、2つのベクトルの類似度や角度、射影、ベクトルの長さなどを計算するために使用されます。
   • 2つのn次元ベクトル $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$a=(a1,a2,…,an) と $mathbf{b} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$b=(b1,b2,…,bn) のドット積は次のように定義されます：
     $mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 cdot b_1 + a_2 cdot b_2 + ldots + a_n cdot b_n$ab=a1b1+a2b2+…+anbn

つまり、ノルムはベクトルの大きさを定量化するための概念であり、ドット積はベクトル同士の内積を計算するための演算です。ノルムとドット積は、ベクトルの性質を理解し、ベクトルの操作を行うための基本的な道具として使用されます。