正方行列と単位行列の掛け算

2024年6月8日

正方行列と単位行列の掛け算について説明します。

まず、正方行列とは、行数と列数が等しい行列のことを指します。つまり、$n times n$n×n の形を持つ行列です。

次に、単位行列とは、対角成分がすべて1で、それ以外の成分がすべて0である正方行列のことを指します。単位行列は通常、$I$I または $I_n$In と表されます。$n times n$n×n の単位行列は以下のように表されます：

$$I_n = begin{pmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & 1 & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & 1 end{pmatrix}$$In=100010001

単位行列の性質として、任意の正方行列 $A$A に対して以下の式が成り立ちます。

$$I_n cdot A = A cdot I_n = A$$InA=AIn=A

これは、単位行列と正方行列の掛け算において、単位行列が「恒等的な役割」を果たすことを示しています。つまり、正方行列 $A$A と単位行列の積は、元の行列 $A$A と同じ行列になります。

具体的な計算手順は、単位行列と正方行列の各要素を掛け合わせて足し合わせるだけです。例えば、(