線形写像ってなに

2024年6月8日

線形写像（または線型写像）は、線形代数学における重要な概念の1つです。線形写像は、ベクトル空間から別のベクトル空間への関数であり、その定義域と値域がともにベクトル空間である写像です。

具体的には、ベクトル空間 $V$V からベクトル空間 $W$W への写像 $T: V to W$T:V→W が線形写像であるとは、以下の2つの条件を満たすことを意味します。

1. 加法に関する保存性（加法性）: 任意の $mathbf{u}, mathbf{v} in V$u,v∈V に対して、線形写像 $T$T は次の条件を満たします。
   $T(mathbf{u} + mathbf{v}) = T(mathbf{u}) + T(mathbf{v})$T(u+v)=T(u)+T(v)

2. スカラー倍に関する保存性（斉次性）: 任意の $mathbf{u} in V$u∈V とスカラー $c$c に対して、線形写像 $T$T は次の条件を満たします。
   $T(cmathbf{u}) = cT(mathbf{u})$T(cu)=cT(u)

これらの条件は、ベクトル空間における加法とスカラー倍の操作が、写像 $T$T によって保存されることを表しています。言い換えれば、線形写像はベクトルの加法とスカラー倍を尊重する写像であり、線形性という性質を持っています。

線形写像は、多くの自然な現象や数学的な問題において現れる重要な概念であり、微分方程式、行列理論、量子力学、信号処理などの分野で幅広く応用されます。